Как решить систему линейных уравнений

Линейное уравнение - это уравнение, которое рисует линию. Система линейных уравнений - это когда два или более линейных уравнения сгруппированы вместе.

Для упрощения иллюстрации рассмотрим системы двух уравнений. Как следует из названия, есть две неизвестные переменные. Часто их обозначают буквами x и y . Если уравнения описывают какой-то процесс, буквы можно выбирать по ролям, которые они играют. Например, d может обозначать расстояние, а t - время.

В этой статье мы узнаем, как решать системы линейных уравнений, используя два забавных метода. Но прежде чем мы начнем, давайте посмотрим, как мы получим ту или иную систему, посмотрев на пример из реальной жизни.

Получение системы

Мальчик садится на велосипед и едет в школу. Каждую минуту он проезжает 200 ярдов.

6 минут спустя его мать понимает, что ее сын забыл свой обед. Она садится на свой велосипед и начинает следовать за мальчиком. Каждую минуту она проезжает 500 ярдов (она олимпийская чемпионка и золотая медалистка).

Мы хотим выяснить, сколько времени нужно матери, чтобы догнать мальчика, и как далеко ей нужно проехать для этого.

Поскольку мальчик охватывает 200 ярдов каждую минуту, в т минут он будет охватывать 200 раз т ярдов, или 200T ярдов.

Его мать начинает кататься на велосипеде через 6 минут, поэтому она едет (t - 6) минут. Так как она охватывает 500 ярдов каждую минуту, в (т - 6) минут она охватывает 500 раз (т - 6) ярдов, или 500 (т - 6) ярдов.

К тому времени, когда она догоняет его, они оба преодолели одинаковое расстояние. Предположим, что это расстояние равно d .

Для мальчика   d = 200t, а для его матери d = 500 (t - 6) . Теперь у нас есть система двух уравнений.

Фигурная скобка часто добавляется, чтобы указать, что уравнения образуют систему.

Теперь посмотрим, как решить эту систему.

Решение заменой

Первый метод, который мы рассмотрим, использует подстановку .

У нас есть два неизвестных, d и t . Идея состоит в том, чтобы избавиться от одной переменной, выразив ее с помощью другой переменной.

Верхнее уравнение говорит нам , что D = 200T , так что давайте штепсель в 200т для г в нижнем уравнении. В результате у нас есть уравнение только с переменной t .

Сначала расширяем правую часть: 500 (t -6) = 500t - 500 * 6 = 500t - 3000 .

Затем мы упрощаем, перемещая неизвестные элементы в одну сторону, а известные элементы в другую. Результат: 500т - 200т = 3000 .

Решение для t дает нам t = 10 , или, поскольку мы измеряем время в минутах, t = 10 минут . Другими словами, мать догонит сына за 10 минут.

Вторая часть нашей задачи - выяснить, как далеко ей пришлось проехать на велосипеде, чтобы догнать его.

Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно найти d . Подстановка t = 10 в любое уравнение даст нам этот ответ.

Чтобы упростить задачу, воспользуемся верхним уравнением: d = 200t = 200 * 10 = 2000 . Поскольку мы измеряем расстояние в ярдах, d = 2000 ярдов .

Давайте пока проверим ваше понимание - попробуйте решить следующую систему самостоятельно:

{

у = 2x

у = 3 (х - 1)

Выберите 1 ответ


х = 3 и у = 6
х = 1 и у = 2
х = 6 и у = 3
х = 1/2 и у = 2/3
представить

В приведенной выше системе неизвестными переменными являются x и y .

Из верхнего уравнения мы знаем, что y = 2x . Подставив это в нижнее уравнение, мы получим 2 (2x) = 3 (x + 1) .

После того как мы расширим и упростим, мы получим 4x = 3x + 3 . Или x = 3 . Следовательно, y = 2 * 3 = 6 .

Решение с помощью построения графиков

Второй метод, который мы рассмотрим, использует построение графиков ,где мы находим решение системы уравнений путем их графического отображения.

Например, возьмем эту систему: y = 2x + 3 и y = 9 - x .

График каждого уравнения будет линией. Первый для y = 2x + 3 выглядит так:  

Затем мы можем построить линию для y = 9 - x :  

Эти две линии пересекаются ровно в одной точке. Это единственное решение обоих уравнений:

Упорядоченная пара (2, 7) дает нам координаты нашей точки пересечения. Эта пара - решение системы. Подстановка x = 2 и y = 7 позволит нам проверить это.

Что делать, если графики параллельны и вообще не пересекаются? Например:

Когда графики уравнений не пересекаются, это означает, что наша система не имеет решения. Попытка решить заменой докажет это.

Результат x - 1 = x - 3 будет 0 = -2 , что всегда ложно .

Но что, если два графика одинаковые и находятся прямо друг над другом?

В таких случаях существует бесконечное количество точек пересечения. Это означает, что в нашей системе есть бесконечное количество решений. Это докажет использование метода подстановки.

Результат x - 2 = x - 2 равен 0 = 0 , что всегда верно .

Больше практики

Попробуйте использовать методы подстановки и построения графиков для решения следующих систем. Эти методы дополняют друг друга и помогут закрепить ваши знания.

{

у = 2

3 года - 2x = 4

Выберите 1 ответ


Система не имеет решения
х = 1/2 и у = 1
х = 1 и у = 2
х = 0 и у = 2
представить

Выбор конкретной переменной для использования в замене должен облегчить поиск решения.

Попробуйте выразить x двумя другими членами в верхнем уравнении, затем подставьте результат в нижнее уравнение. Так вы избежите работы с дробями.

{

х + 5у = ​​7

3х - 2у = 4

Выберите 1 ответ


х = 5 и у = 5/2
х = 1 и у = 2
х = 1 и у = 1
х = 2 и у = 1
представить

Сделаем еще один вызов:

{

-6x - 8y = 4

у = -x - 1

Выберите 1 ответ


х = -2 и у = 1
Бесконечное количество решений
х = 2 и у = -1
х = -1/6 и у = 6
представить

Теперь, когда вы достаточно знаете о подстановке и построении графиков, решите больше линейных уравнений.